Задача №1: Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.

Решение: пусть а - прямая и А - точка на ней. Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость . В плоскости через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную а.


Задача №2: Докажите, что через любую точку А можно прoвести прямую, перпендикулярную данной плоскости .

Решение: Проведем в плоскости две пересекающиеся прямые с и b. Через точку их пересечения проведем плоскости и перпендикулярные прямым b и с соответственно. Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а перпендикулярна прямым b и с, значит и плоскости . Проведем теперь через точку А прямую d, параллельную а. По теореме 2 она перпендикулярна плоскости .


Задача №3: Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.

Решение: Пусть а - данная прямая и - данная плоскость. Возьмем на прямой а две произвольные точки Х и Y. Их расстояния до плоскости - это длины перпендикуляров ХХ1 и YY1, опущенных на эту плоскость. По теореме 3 прямые ХХ1 и YY1 параллельны, следовательно, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость по прямой Х1Y1.Прямая а параллельна прямой Х1Y1, так как не пересекает содержащую её плоскость . Итак у четырехугольника ХХ1YY1 противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он параллелограмм, а значит ХХ1=YY1.


Задача №4: Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.

Решение: Пусть А, В, С - точки касания сторон треугольника с окружностью, О - центр окружности и S - точка на перпендикуляре. Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме 4 отрезок есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина - расстояние от точки S до стороны треугольника. по теореме Пифагора 2=2+SO2=r2+SO2, где r - радиус вписанной окружности. Аналогично получаем 2=r2+SO2 и 2=r2+SO2, т.е. все расстояния от точки S до сторон треугольника равны.


Задача №5: Даны прямая а и плоскость . Проведите через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости .

Решение: Через произвольную точку прямой а проводим прямую b, перпендикулярную плоскости . Через прямые а и b проводим плоскость . Плоскость перпендикулярна плоскости по теореме 5.


[ Главная | Перпендикулярность прямой и плоскости | Признак перпендикулярности прямой и плоскости | Свойства перпендикулярных прямой и плоскости | Перпендикуляр и наклонная к плоскости | Теорема о трех перпендикулярах | Перпендикулярность плоскостей | Признак перпендикулярности двух плоскостей | Тематический контрольный тест | Опорные задачи]